在初中数学，度规或间距涵数是得出结合中每一对点原素中间的间距的涵数。一个含有度规的结合称之为度规室内空间。在微分几何中，度规的一个主要来源于是度规张量。度规张量容许根据積分来明确顺着曲线图的间距，进而明确度规。

在广义相对论中，时光是一个光洁的，座标友善型（coordinate-friendly）的室内空间，称之为流形（manifold）。度规g容许大家严苛地理解这一流形中空间向量的间距和长短。大家把度规当做是一个引流矩阵，在流形上从点和点转变，解这一度规的办法是解爱因斯坦场方程式。

那麼那么问题来了，在广义相对论的架构内容许怎样的度规。一般来说，大家不太可能写出一切大家需要的度规。那麼，在自然中什么度规是被容许的？是不是有一些表达式能够使我们明确一个度规的演化？

事实上，物理学上容许的度规是爱因斯坦场方程的解。爱因斯坦的场方程式如下所示：

在右边，标记T意味着动能抛体运动张量。动能抛体运动张量编号了大品质物件（例如中子星）在时货物的动能。

左侧包括了叙述时光的重要特性。R表明时光有多 "弯折"。左侧的第一项是里奇折射率，它叙述了宇宙空间的三维空间与平整室内空间对比是怎么弯折的（弯折水平）。它有两个希腊字母字符，因而它是一个2级张量（因此我们可以把它写出一个引流矩阵）。第二项叙述了与平整室内空间对比，容积是怎样歪曲的。标记R被称作里奇标量。第三个项是天文学参量，带字母g的项是度规自身。

在本文中，我觉得介绍一下这一方程式是怎样推论出的。

爱因斯坦-希尔伯特变换作用

大家把度规作为一个动态性的物理学自变量。最先根据在固定不动時间内对二点间的拉格朗日積分来结构一个作用；随后，为了更好地寻找經典物体的途径，我们要寻找使作用量最少的途径。

为了更好地在广义相对论中保证这一点，大家将构筑一个包括度规的作用。为了更好地搭建这一作用，务必使用一些有效的度规涵数，随后检测所取得的运动方程是不是与我们在經典状况下获得的一致。

一旦搭建了一个做为度规涵数的作用，大家便会试着将这一作用降到最低，以得到准确的度规是啥。从而获得的度规便是爱因斯坦场方程的解。将作用量降到最低是一项工艺上的挑戰，可是大家只必须做一次测算。

搭建爱因斯坦-希尔伯特变换作用?

大家把从度规中搭建的作用称之为爱因斯坦-希尔伯特变换作用。大家唯一要解决的另一半是度规g。一个物质的 "容积 "彻底在于时货物的距離是怎样界定的。大家可以用度规来界定时货物的容积定义（取其行列式的平方根）。度规的行列式的平方根是我们可以应用的一个当然的容积方式。这就给了大家一个提醒，作用看上去应当像：

如今，大家唯一能做的是把里奇标量明确提出来。里奇标量是一个实数，在流形中的每一点上面有一个值。当里奇标量在某一点为发动机正时，如果有欧几里得度规，紧紧围绕该点的小球的体积比半经同样的小球的体积要小。假如里奇标量为负则反过来。下边粉红色的球是有度规g的球的体积，深棕色球是用欧几里得平面图度规认知的容积。

因而，搭建作用的当然方法是把里奇标量放到容积方式的前边。这在下面的方程式中表明。里奇标量用标记R来表明。

一样，里奇折射率张量也考量室内空间的折射率与平整室内空间的不一样。

爱因斯坦-希尔伯特变换作用的极端化?

为了更好地推论出爱因斯坦场方程式，大家必须寻找使作用量最少的度规。为了更好地保证这一点，大家将对度规开展细微的振荡，看一下作用S怎样转变。大家期待作用S会产生细微的转变，我试着写下一个关系式来表明作用发生了很大转变。

在数学课上，大家把一个细微的改变称之为 "振荡"。因而，为了更好地振荡度规，在度规上提升一个细微的项。这一细微的项是用古希腊的delta标记表明的。大家对度规的振荡看上去像：

在我们更改全部算式时，技巧是把里奇标量写出里奇张量与度规缩并的方式。随后，当见到一个较小的转变时，大家运用相乘规律，把全部的物品进行。大家务必记牢容积的方式而且考虑到当度规更改时容积的方式是怎样转变的。

为了更好地获得运动方程，大家必须解决積分中的项，进而溶解出一个能够设成零的一般关系式。要实现这一点，必须简单化很多项，获得：

由英文字母X意味着的张量是一个界限。在我们对度规的随意转变增加稳定性的标准时，就取得了被积函数的一个标准。这就到了真空泵爱因斯坦方程式（由于我假定沒有品质或动能）。

右侧的方程式恰好是在沒有动能或品质的情形下的爱因斯坦场方程式。可是，大家假定绝大多数的参量全是1。

添加基本上?参量?

我们可以应用量纲分析来添充这儿的参量。作用S的量纲是ML^2/T，度规是无量纲的，而R的企业是1/L^2。大家必须作用是无量纲的，因而要在它前边加一些参量来均衡这种量纲。最终获得作用S是：

拥有这种参量，大家就彻底取得了爱因斯坦的场方程式。