在现代物理学课程内容中，我认识到了解样子的必要性，他们为有意思的物理给予了演出舞台，决策了一切物理学体系的对称和动态。样子是一切几何图形物件，在物理中，他们通常是光滑平整的。

本文将探讨流形。流形是一种样子，在物理中以其“友善”的特点而被重复应用。换句话说，他们容许我们在其任何地方界定一组座标。除此之外，流形能够在其表面编号有效的信息内容。这种数据针对了解物件怎么会以那样的方法健身运动尤为重要。

流形的应用在现代物理学中无所不在。广义相对论那样的几何图形密集式课程也是以深入分析流形为基本，粒子物理学中也经常会出现流形的影子。

可是，最先，我们要谈的是最立即的样子——对外开放空间。

我们在高中生学习的物理很有可能涉及到最主要的样子——对外开放空间。在我们说对外开放空间时，指的是一个拓宽到无穷大的二维或三维空间。在三维的情形下，这好比一个航天员在外太空中，周边啥都没有。这类对外开放空间被称作 "欧几里得空间"。一位数学家称二维对外开放空间为R^2，三维对外开放空间为R^3。R意味着实数，而2或3意味着在空间中精准定位一个部位必须 的座标数。

被称作欧氏空间，是由于由于我们可以非常容易用欧氏度规精确测量随意两点之间的间距。比如，假如A点和B点中间的距離是x轴上的x，y轴上的y和z轴上的z，那麼这两点之间间距的平方米便是x^2 y^2 z^2。

欧氏空间的定义对大家尤为重要，由于一位数学家能够利用它非常容易搭建一套座标，唯一地界定空间中一切一点的部位。

什么叫流形？

上边的难题把人们带入了流形的话题讨论。流形是一种几何图形样子，在部分，它看上去像一维、二维、三维或一切层面的 "对外开放空间"。部分这个词与全局性相对性，后面一种代表着 "做为一个总体看来"。部分和全局性中间的这些差异是非常重要的，我将根据一个事例表明。

一个立在圆球表面的人的案例是最容易的。我们知道，圆球做为一个总体看上去并不是一个对外开放的空间，因此 从整体看来，它看上去并并不像R^2或R^3。殊不知，在我们看一个主要的点时，这一报告是不是依然恰当呢？大家在地球上，周边的空间好像很平整。假如环顾四周，看上去我如同立在一个平整的二维表面上，这就是为何最开始非常容易坚信全球是平的。因此 ，在部分，在圆球的一切一点周边的地区，看上去像R^2。因而，在三维空间中，流形M是一个样子，从一个立在其表面的生物体的角度观察，它看上去像一个 "平面图"。

在这个流形上的每一个 "连通域"，一些投射将一个点周边的地区越来越像一个对外开放空间。假如这一对外开放空间的层面为n，那麼一个物件就被称作n维流形。比如，尽管圆球是一个三维物件，但其表面上一切一点的平整地区在部分来看只像一个二维的平面图。因而，大家说，曲面是一个二维流形。一样地，一个圆上看上去像一个一维流形，由于圆上的一切部分看上去都像一条线。

在地球上的一切一点，我还能够搭建一个部分的座标集。

为何要花些精力去界定那样一个目标呢？可以将部分地区映照到对外开放空间，使大家可以坚持不懈一套座标来明确自身的方位。比如，现在我上海市区某一部位。假如我想去北京度假旅游，我能取出一张地形图，地形图有一个坐标系统，跟我说如何抵达北京市。这类在地球上随意一点界定座标的特性使圆球变成 流形。

有很多并不是流形的事例。比如，以一个立方体为例子。尽管正方体上的面在部分上像R^2，但在正方体的四角有一个难题。假如你恰巧立在四角，就没有办法顺利地搭建一个平面坐标，使这一样子看上去像一个平面图空间。

在初中数学，有很多有关明确一个目标什么时候为流形的科学研究。一样，这也很重要，由于人们常常必须掌握在物理中什么时候能够置放一组座标。比如，初中数学有一连串的证明材料和置入定律，决策了空间中的一条曲线图是不是一个“合理合法”的流形。这种难题启迪了纳什置入定律。

大家可用流形干什么？李群和断线矢量素材（Lie Groups and Tangent Vectors）

可以在不一样的点上界定座标的实际意义是啥？在统计学和物理学中有一些物品是没办法达到的除非是在某一点上有一个界定“非常好”的坐标系统。这就是为何流形对大家这么关键。

在流形上的一切一点都是有一个光滑的平面坐标，大家就可以界定曲线图解析函数等目标。比如，流形上的涵数如同一个'热点图'。因为在一切一点上面有一个平面坐标，几个主要的数学概念如今早已获得了不错的界定。例如：

我们可以根据认证涵数是不是可微来明确流形上的涵数是不是光洁。

大家还能够界定 "切（线）空间"。比如，在圆球图上，断线空间是依附在表面一侧的矩形框。它象征了表面上的小蚂蚁会经过的空间。断线空间是广义相对论和经典力学的当代描述中采用的主要预制构件，用以了解物件怎样从流形中的一点当然流入另一点。

除此之外，物理中也有一些对称性构造，他们自身也是流形。这种被称作李群。李群身后的定义事实上是非常简易的。李群是叙述平滑变换的数学课目标。比如，一个物件的转动的对称性群是一个李群，由于转动是一个 "光滑 "的转换。说白了光滑，就是指我能将一个物件转动一丁点。另一方面，像反射面那样的改变并沒有与之有关的线性性属性。因而，你不能 "只反射面一丁点 "。

如今，李群是流形的缘故要更细微一些。想一想转动一个物件，我能转动一个给出的近视度数。近视度数是在0到360中间。近视度数也就是我必须的准确数据量，能够 明确一个圆上的指定部位。可是圆自身也是一个流形！这一流形是啥？

这类将对称性群与特殊样子相遇其他作法是使李群越来越与众不同的缘故。因而，在科学研究粒子物理学的对称性构造时，他们是最重要的。一种特殊类别的李群，称之为半单李群（semi-simple Lie groups）。事实上，我们可以将全部不足的半单李群分为四个无尽的族，各自表明为An、Bn、Cn、Dn，在其中n∈N。

李群是一组持续转换，它光滑地取决于n个给出的主要参数。因为它必须 n个基本参数来理解这组转换，大家还可以把它解读为n维流形。

流形的归类

一位数学家们喜爱对不一样的数学课目标开展归类。归类很有协助，因为它能够协助人们明确什么样子或流形是真真正正不一样的。我们可以根据流形的一些拓扑学属性来实现归类。拓扑结构属性是一种种类的属性，它就是一个给出样子的 "原有 "属性。我将在下面简述他们：

连接性就是指我们可以从流形的任何地方到所有别的点搭建一条光滑的途径的属性。因而，举例来说，一个球是相通的，可是一个结合的点在2个圆球上的流形就并不是连接的了。

单连接性与连接性拥有微弱的不一样。它来源于同伦群的定义。假如一个空间表面的一切环城路都能够持续形变为一个点，那麼这一空间便是 "单连接的"。非单连接的一个案例是实芯环。

紧实性就是指我们可以用不足的子集覆盖一个空间。简单地说，这代表该物件并不是 "无尽的"，如同一般的对外开放空间。比如，一个圆球是紧凑型的。另一方面，一条无尽的线，它实际上便是一个流形，并不是紧实的。这一标准等同于说，如果我们在R^3中置入空间，非空子集是封闭式和有界的。因此 ，举例来说，R上的二次曲线并不是一个紧实流形，因为它并不是有限的。

希望本文能有效地详细介绍什么叫流形，及其流形在现代物理学中的运用。